บทที่ 4 กฏข้อที่ 2 ของนิวตัน ... แรงและความเร่ง

วัตถุทั้งมีการเริ่มต้นเคลื่อนที่ เคลื่อนที่ช้าลง เคลื่อนที่เป็นทางโค้ง บทที่แล้วกล่าวถึงวัตถุที่จุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ โดยไม่มีแรงลัพธ์ใดมากระทำ บทนี้จะครอบคลุมมากขึ้นที่มีตัวการทำให้เปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ คือการเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง

          จากบทที่ 2 อธิบายความเร่งเป็นการเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่เร็วเท่าใด โดยเฉพาะการเปลี่ยนความเร็วต่อหน่วยหรือช่วงเวลา เขียนได้คือ

                      ความเร่ง = การเปลี่ยนความเร็ว/ ช่วงเวลา        

นี่คือนิยามความหมายของความเร่ง ในบทนี้จะเน้นถึงสาเหตุของความเร่ง ได้แก่แรง

อักษรกรีก ∆(delta) มักใช้เป็นสัญลักษณ์สำหรับ  .การเปลี่ยนแปลง  หรือ ส่วนแตกต่างกันใน

ในเครื่องหมาย เดลต้า  a =∆v/∆t เมื่อ ∆ v คือการเปลี่ยนความเร็ว และ ∆t คือการเปลี่ยนแปลงเวลา

4.1 แรงสาเหตุของความเร่ง

พิจารณาวัตถุที่หยุดนิ่ง เช่นลูกบอล เมื่อให้แรงกระทำต่อลูกบอล ลูกบอลจะเคลื่อนที่ เนื่องจากลูกบอลไม่ได้เคลื่อนที่มาก่อน กล่าวได้ว่าลูกบอลเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง หรือเปลี่ยนแปลงการเคลื่อนที่ แรงจึงเป็นตัวการก่อให้เกิดความเร่ง

     บ่อยครั้งที่แรงที่กระทำไม่ใช่เป็นแรงเดียวที่กระทำต่อวัตถุ มีแรงอื่นๆ มากระทำอยู่ด้วย การรวมแรงทุกอย่างที่กระทำต่อวัตถุนั้นเรียกว่าแรงลัพธ์ (net force)  ซึ่งเป็นแรงที่ทำให้วัตถุมีความเร่ง จากรูป 4.3 ถ้าเราผลักวัตถุด้วยแรง 10 นิวตันตามแนวระดับ โดยวัตถุวางอยู่บนผิวที่อิสระต่อความเสียดทาน เช่นลู่อากาศ และถ้ามีเพื่อนอีกคนช่วยผลักด้วยแรง 5 นิวตันในเวลาเดียวกันในทิศทางเดียวกันบนวัตถุเดียวกัน แรงลัพธ์รวมที่กระทำต่อวัตถุเกิดจากผลรวมของแรงเป็น 15 นิวตัน วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร่งราวกับว่าถูกผลักด้วยแรงเดี่ยว 15 นิวตัน ถ้าเพื่อนของคุณออกแรงผลักในทิศทางตรงกันข้ามกันในแรงลัพธ์จะเป็นผลต่างของแรงคือ 5 นิวตัน ความเร่งของวัตถุจะเป็นเหมือนกับวัตถุถูกผลักด้วยแรง 5 นิวตัน

      เราพบว่าขนาดความเร่งขึ้นอยู่กับจำนวนแรงลัพธ์ เพื่อจะเพิ่มความเร่งให้กับวัตถุหนึ่ง เราต้องเพิ่มแรงลัพธ์ให้มากขึ้น ที่เหตุผลทำให้เข้าใจได้  ถ้าเพิ่มแรงเป็นสองเท่าต่อวัตถุแล้ว เราก็จะได้ความเร่งเป็นสองเท่า เรากล่าวได้ว่าความเร่งเกิดขึ้นเป็นปฏิภาคตรงกับแรงลัพธ์ เขียนได้ว่า

           ความเร่ง   α  แรงลัพธ์

          สัญลักษณ์  α  แทนการเป็นปฏิภาคตรงต่อ

4.2 มวลต้านทานต่อความเร่ง

เมื่อผลักรถใส่ของห้างสรรพสินค้า จะพบว่าผลักรถที่ใส่ของมากหนักมากจะผลักให้เร่งได้น้อยกว่ารถที่ใส่ของน้อยหนักน้อยกว่า ทั้งนี้เพราะความเร่งขึ้นอยู่กับมวลที่ถูกพลักออกไป สำหรับวัตถุที่มีมวลมากกว่าเราจะพบว่ามีความเร่งน้อยกว่า ถ้ามวลมากขึ้นเป็นสองเท่าเมื่อให้แรงผลักเท่าเดิมให้ผลเป็นความเร่งได้เพียงครึ่งหนึ่ง ให้มวลเป็นสามเท่าให้ผลเป็นความเร่งได้ 1 ใน 3 ของความเร่งเดิม และต่อไป กล่าวอีกอย่างได้ว่าสำหรับแรงที่กำหนดให้ความเร่งที่เกิดขึ้นเป็นปฏิภาคกลับกับมวล เขียนได้เป็นดังนี้

         ความเร่ง   α  1/มวล  

 คำว่าปฏิภาคกลับ หมายความว่าจากการมี 2 ค่าเปลี่ยนแปลงไปในทิศทางตรงข้ามกัน เราเห็นว่าตัวหารเพิ่มขึ้นปริมาณทั้งหมดลดลง ตัวอย่างเช่นปริมาณ 1/100 น้อยกว่าปริมาณ 1/10

4.3 กฏข้อที่ 2 ของนิวตัน

นิวตันเป็นคนแรกที่ตระหนักว่าความเร่งที่เราทำให้เกิดขึ้นเมื่อเราเคลื่อนที่บางอย่างขึ้นอยู่กับแรงผลักมากเท่าใดและมวลที่ผลักเท่าใดด้วย  เขาได้ข้อสรุปเป็นกฏที่สำคัญมากที่สุดของธรรมชาติเท่าที่เคยมีมาคือกฏข้อที่สองของเขา โดยกฏข้อที่สองกล่าวว่า

         ความเร่งที่เกิดขึ้นจากที่มีแรงลัพธ์กระทำกับวัตถุหนึ่งเป็นปฏิภาคตรงกับขนาดของแรงลัพธ์ใน

         ทิศทางเดียวกับแรงลัพธ์ และเป็นปฏิภาคกลับกับมวลของวัตถุนั้น

      หรือเขียนอยู่ในรูป      ความเร่ง    α   แรงลัพธ์/มวล

โดยใช้หน่วยมาตรฐานของแรงเป็นนิวตัน(N); มวลเป็นกิโลกรัม (Kg) และหน่วยของความเร่งเป็น เมตรต่อวินาทีกำลังสอง (m/s²) จะได้เป็นสมการโดยตรงคือ

                                                      ความเร่ง  =  แรงลัพธ์ / มวล

 ในรูปที่ลัดสั้น เมื่อ a แทนความเร่ง , F แทนแรงลัพธ์ และ m แทนมวลของวัตถุจะได้ว่า

                                                       a = F/m  หรือเขียนอีกรูปแบบได้เป็น

                                                       F = m a 

ความเร่งเท่ากับแรงลัพธ์หารด้วยมวล จากความสัมพันธ์เราสามารถเห็นได้ว่า ถ้าแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุเพิ่มเป็นสองเท่า ความเร่งก็จะเพิ่มเป็นสองเท่าด้วย  สมมุติว่าถ้ามวลเพิ่มเป็นสองเท่าแล้ว ค่าความเร่งจะลดลงเป็นครึ่งหนึ่ง  ถ้าทั้งแรงลัพธ์และมวลเพิ่มเป็นสองเท่า แล้วความเร่งก็จะไม่เปลี่ยนแปลง

การคำนวณแก้ปัญหา

ถ้ามวลของวัตถุหนึ่งวัดเป็นกิโลกรัม(kg) และความเร่งวัดเป็นเมตรต่อวินาทีกำลังสอง(m/s²) แล้วแรงกำหนดในหน่วยนิวตัน (N)  แรง 1 นิวตันคือแรงที่ทำให้มวล 1 กิโลกรัมมีความเร่ง 1 เมตรต่อวินาทีกำลังสอง เราสามารถจัดกฏที่สองของนิวตันอ่านดังนี่

                         แรง = มวล X  ความเร่ง

                         1N  =  (1 kg) X (1 m/s²)

จะเห็นว่า           1N = 1kg.m/s²

จุดระหว่าง kg กับ m/s² หมายถึงคูณหน่วยทั้งสองเข้าด้วยกัน
       ถ้าเราทราบรู้ค่าปริมาณ 2 อย่าง (หรือ 2 ตัวแปร) ตามสูตรในกฏข้อที่สองของนิวตันแล้ว แล้วสามารถคำนวณหาค่าตัวแปรที่ 3 ที่ไม่ทราบได้  ตัวอย่างเช่นต้องมีแรงเท่าใดที่จะทำให้เครื่องบินเจ็ตมวล 30,000 kgเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง 1.5 m/s²

                              จาก    F = ma
                                           =(30,000 kg) x (1.5 m/s² )
                                           =45,000 kg. m/s²
                                           = 45,000 N

สมมุติว่าคุณรู้แรงและมวล และต้องการจะคำนวณหาความเร่ง ตัวอย่างเช่น จะเกิดความเร่งเท่าใดเมื่อมีแรงไปกระทำ2000 Nต่อรถยนต์มวล 1000 kg โดยใช้กฏข้อที่สองของนิวตันจะหาความเร่งได้คือ

เมื่อเพิ่มแรงเป็นสองเท่ากับมวลเดิมเดียวกัน เท่ากับการเพิ่มความเร่งเป็นสองเท่า

คำถาม
1. ถ้ารถยนต์คันหนึ่งสามารถเคลื่อนที่ที่ความเร่ง 2 m/s² จะมีความเร่งเท่าใดถ้ารถยนต์คันนี้ลากรถอีกคันที่มวลเท่ากัน
2. การเคลื่อนที่จะเป็นแบบใด ถ้าแรงที่ให้กับวัตถุคงที่ไม่เปลี่ยนแปลง โดยที่วัตถุก็มีมวลตายตัวคงที่

4.4 ภาวะนิ่ง สแตติกซ์ (สถิตย์ศาสตร์)
        มีแรงกี่แรงที่กระทำต่อหนังสือที่วางนิ่งอยู่บนโต๊ะ ห้ามบอกว่าแรงเนื่องจากน้ำหนักแรงเดียว ถ้ามีเพียงแรงเดียวกระทำน่าจะต้องเคลื่อนที่ด้วยความเร่ง ความจริงก็คือเมื่อหนังสือวางนิ่ง และไม่มีความเร่งใดๆเกิดขึ้น  เป็นหลักฐานว่ามีอีกแรงหนึ่งที่มากระทำ อีกแรงที่ว่านี้จะต้องมาหักล้างกับแรงน้ำหนักทำให้แรงลัพธ์เป็นศูนย์  อีกแรงหนึ่งนั่นก็คือแรงที่โต๊ะรับไว้ (มักจะเรียกว่าแรงตั้งฉาก: normal force) กล่าวอีกอย่างได้ว่าโต๊ะออกแรงผลักหนังสือขึ้น  ลองจินตนาการว่ามีมดอยู่ระหว่างหนังสือกับโต๊ะ หรือหนังสือทับมดบนโต๊ะ มดอาจรู้สึกว่าตัวเองถูกบีบอัดทั้งสองด้านทั้งด้านบนและด้านล่าง โดยโต๊ะออกแรงผลักหนังสือขึ้นด้านบนด้วยแรงขนาดเดียวกับที่หนังสือออกแรงกดลงบนโต๊ะ  ถ้าหนังสือหยุดนิ่งผลรวมของแรงที่กระทำต่อหนังสือสมดุลหรือเป็นศูนย์

รูปที่ 4.6  แรงลัพธ์ที่กระทำต่อหนังสือเป็นศูนย์ เพราะว่ามีแรงที่โต๊ะผลักขึ้นด้วยแรงที่เท่ากับแรงน้ำหนัก                ของหนังสือทิศลง

     
        การแขวนตัวเองกับเชือกห้อยลงมา น้ำหนักตัวเราจะทำให้เชือกตึงมากขึ้นทำให้เชือกมีแรงตึงในเส้นเชือก แรงตึงจะมีเท่าใด ถ้าตัวเราที่แขวนเชือกดังกล่าวไม่ได้มีความเร่ง ความตึงในเส้นเชือกจะต้องเท่ากับน้ำหนักที่แขวน  โดยเชือกจะดึงตัวเราไว้ขณะเดียวกันความโน้มถ่วงของโลกก็ดึงตัวเราไว้ ด้วยแรงที่เท่ากันหักล้างกันพอดี เพราะว่าเป็นแรงที่เท่ากันอยู่ในทิศทางตรงข้ามกัน จึงแขวนตัวอยู่ได้นิ่งไม่เคลื่อนที่
      สมมุติห้อยโหนโดยจับบาร์ที่มีเชือกผูกสองเส้นดัง รูป 4.7  แล้วความตึงในแต่ละเส้นเชือกเป็นครึ่งหนึ่งของน้่ำตัวที่โหน(ถ้าไม่คิดน้ำหนักเชือก) แรงตึงในเส้นเชือกที่มีแนวทิศขึ้นเส้นละครึ่งหนึ่งของน้ำหนักตัวไปหักล้างกับน้ำหนักตัวที่จับบาร์โหนอยู่สมดุลพอดี และในการจับบาร์ด้วยมือแต่ละแขน แต่ละแขนก็รับน้ำหนักครึงหนึ่งของน้ำหนักตัว เมื่อพยายามจะยกตัวเองด้วยแขนเดียวทำไมจึงยากขึ้นเป็นสองเท่า

รูปที่ 4.7 ผลรวมของแรงตึงในเส้นเชือกจะต้องเท่ากับแรงน้ำหนักตัวที่ห้อยโหน

คำถาม
เมื่อคุณก้าวขึ้นวัดน้ำหนักบนเครื่องชั่ง แรงกดลงด้านล่างคือแรงความโน้มถ่วง และแรงดันขึ้นด้านบนของพื้นที่ไปกดสะปริง ที่ปรับไว้รองน้ำหนักของคุณ ส่งผลให้เครื่องชั่งแสดงแรงที่รับน้ำหนักของคุณ ถ้าคุณยืนบนเครื่องชั่งสองเครื่องโดยแบ่งหน้กตัวไปที่แต่ละเครื่องชั่งเท่ากัน เครื่องชั่งแต่ละเครื่องอ่านว่าอะไร  เป็นอย่างไรถ้าคุณยืนกดน้ำหนักไปที่เท้าข้างหนึ่งมากกว่า

4.5 ความเสียดทาน
แม้ว่าจะมีให้แรงเพียงแรงเดียวกระทำต่อวัตถุ ปกติแล้วก็ไม่ใช่แรงเดียวนี้เท่านั้นที่มีผลต่อการเคลื่อนที่ ทั้งนี้เพราะยังมีความเสียดทานอยู่เสมอ  ความเสียดทานคือแรงที่มักกระทำในทิศทางที่ตรงข้ามกับการเคลื่อนที่ มักเกิดกับผิวหน้าของวัตถุที่มาสัมผัสกันเป็นส่วนใหญ่ แม้แต่ผิวที่ราบเรียบก็ยังมีรอยหยาบละเอียดเมื่อมองดูด้วยกล้องจุลทรรศน์ เมื่อวัตถุหนึ่งเคลื่อนที่เลื่อนถูไปกับวัตถุอื่น การเคลื่อนไปบนส่วนที่ไม่เรียบไม่ก็ขูดเอาผิวหน้านั้นออกไป ไม่ว่าทางใดก็ต้องใช้แรงในการเคลื่อนผ่านไป
      ความเสียดทานไม่ได้จำกัดอยู่ที่ของแข็งเคลื่อนผ่านสัมผัสกันเท่านั้น ความเสียดทานยังเกิดขึ้นในของเหลวและแกส ซึ่งเรียกว่าของไหล(Fluid) ความเสียดทานของของไหลเกิดขึ้นเมื่อวัตถุเคลื่อนผ่านของไหลด้านใดด้านหนึ่งหรือทั้งหมด บางคนอาจเคยมีประสบการณ์วิ่งในน้ำตื้นลึกแตกต่างกัน ก็จะรู้ได้ถึงความยากลำบากต่อการเคลื่อนที่ในของเหลว แม้ว่าการเคลื่อนที่อัตราเร็วต่ำก็ตาม  ความตานทานอากาศเป็นความเสียดทานที่กระทำต่อสิ่งที่เคลื่อนที่ผ่านอากาศเป็นกรณีที่เห็นได้ทั่วไปในกรณีของความต้านทานของของของไหล
       เมื่อมีความเสียดทาน วัตถุอาจเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ขณะที่ให้แรงกระทำต่อวัตถุนั้น  ในกรณีนีแรงเสียดทานจะสมดุลกับแรงที่ให้กับวัตถุนั้น แรงลัพธ์จึงเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่มีความเร่ง  ตัวอย่างเช่นในภาพที่ 4.9 ผู้ผลักบล็อกวัตถุจะเคลื่อนไปได้ด้วยความเร็วคงที่ก็ต่อเมื่อออกแรงผลักมากพอที่ให้แรงสมดุบกับแรงเสียดทาน ถุงใส่ของที่ตกลงมาด้วยความเร็วคงที่ก็ต่อเมื่อความต้านทานอากาศสมดุลกับน้ำหนักของถุงใส่ของนั้น
             

รูปที่ 4.9 ออกแรงผลักลังไม้ไปทางขวา และแรงเสียดทานกระทำไปทางซ้าย ถุงใส่ของตกลงมาด้วยแรงโน้มถ่วง แรงต้านทานอากาศกระทำกับถุงทิศขึ้นด้านบน ทิศทางของแรงเสียดทานมีทิศทางตรงกันข้ามกับทิศทางการเคลื่อนที่เสมอ

คำถาม
1. ตามรูปที่ 4.6 แสดงให้เห็นเพียงสองแรงกระทำต่อหนังสือ คือน้ำหนักของหนังสือและแรงที่โต๊ะรับหนังสือ แรงเสียดทานไม่ได้กระทำอยู่ด้วยใช่หรือไม่
2.สมมุติวาเครื่องบินจัมโบเจ็ตเคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วคงที่เมื่อแรงผลักดันเคลื่องยนต์คงที่ 80000 นิวตัน ให้หาความเร่งของเครื่องบินเจ็ต และมีแรงเสียดทานกระทำต่อเครื่องบินเจ็ตเท่าใด

4.6 การประยุกต์ใช้แรง ... ความดัน
เราสามารถที่จะนำหนังสือไปวางบนโต๊ะไม่ว่าจะวางในแนวราบหรือแผ่นปก หรือในแนวตั้งด้วยสันที่มุมหนึ่งของโต๊ะ แรงที่หนังสือทำกับโต๊ะและโต๊ะทำกับหนังสือก็ยังคงเท่าเดิม ตรวจสอบโดยใช้ตาชั่ง ชั่งสิ่งต่างๆ อันเดียวกันแต่ว่างที่ตำแหน่งต่างๆกัน  หรือแม้แต่ตัวของเรา  เมื่อถือหนังสือไว้บนฝ่ามือ จะว่างแบบไหนก็ตามให้สมดุลอยู่ได้ แม้ว่าแรงหนังสือทำต่อมือเนื่องจากแรงโน้มถ่วงและที่มีอกระทำต่อหนังสือ แม้ว่าจะเท่ากันเหมือนเดิม เราจะสังเกตุได้ถึงความแตกต่างที่หนังสือกดทับที่มือเมื่อพื้นที่หนังสือสัมผันมือแตกต่างกัน ทั้งนี้เพราะหว่าพื้นที่แตะสัมผัสกับมือแตกต่างกันในแต่ละกรณี  สำหรับแรงที่กระทำต่อหน่วยพื้นที่เรียกว่า ความดัน(pressure)
            ความดัน  =   แรง/พื้นที่แตะสัมผัสที่ใช้

โดยที่แรงตั้งฉากกับพื้นที่ผิวในรูปของสมการคือ

             P   =   F/A

เมื่อ P คือความดัน A เป็นพื้นที่ซึ่งแรงกระทำ แรงวัดในหน่วยเป็นนิวตัน ซึ่งต่างจากการวัดความดันที่วัดในหน่วยเป็นนิวตันต่อตารางเมตร(เรียกอีกอย่างว่าปาสคาล:Pa  เป็นหน่วยค่อนข้างใหม่รับเอามาเป็นหน่วยมาตรฐานในปี 1960

มีหลายคนเข้าใจผิดว่าหน้ายางรถยนต์ยิ่งกว้างทำให้ในการเคลื่อนยานยนต์มีความต้านทานมากขึ้น แต่การทำให้หน้ากว้างหรือพื้นที่มากขึ้นทำให้มีความดันน้อยลง ส่วนยางหน้าแคบหรือพื้นที่น้อยกว่ามีความดันน้อยกว่า จะช่วยลดความร้อนและการสึกหรอ

เรารับความดันกับพื้นที่ยืน  เมื่อยืนด้วยเท้าเดียวมากกว่ายืนด้วยสองเท้าทั้งนี้เพราะเท้าเดียวมีพื้นที่สัมผัสน้อยกว่า  การยืนด้วยหัวแม่เท้าดังเช่นนักเต้มบัลเลย์จะเกิดความดันสูงมาก ยิ่งมีพื้นที่น้อยเท่าไรที่รับแรงก็ยิ่งมีความดันบนพื้นที่นั้นมากเท่านั้น

กิจกรรม
1.ให้หาวิธีการวัดความดันขณะที่เรายืนบนผ่าเท่าเพียงเท้าเดียว

การแสดงสาธิตเรื่องความดันดังภาพที่ 4.12 ผู้แสดงคนหนึ่งให้แรงผ่านฆ้อนตีบล็อกซีเมนที่วางบนแผงตาปูที่ด้านแหลมกดผู้แสดงอีกคนดังในภาพ

รูปที่ 4.12 ผู้แสดงออกแรงผ่านฆ้อนตีบล็อกซีเมนด้านบนแตกที่ผู้แสดงอีกคนนอนอยู่ระหว่างแผงตาปูปลายแหลม แรงดันต่อตาปูไม่พอที่จะเจาะเข้าผิวหนัง

คำถาม
1. ความพยายามที่จะแสดงสาธิตดังในรูป 4.12 จะเป็นการดีหรือไม่ถ้าเริ่มจากตะปูน้อยๆ และทำต่อไปด้วยตะปูมากขึ้น
2.บล็อกซีเมนต์ที่มวลมากมีบทบาทสำคัญในการสาธิต จะทำให้ปลอดภัยมากขึ้น ถ้าให้บล็อกซีเมนต์มวลมากขึ้น หรือมวลน้อยลง

4.7 อธิบายการตกอย่างอิสระ
กาลิเลโอแสดงให้เห็นว่าวัตถุที่กำลังตกจะมีความเร่งเท่ากันไม่ว่ามวลของวัตถุจะเป็นเท่าใด ที่กล่าวมาเป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่คิดความต้านทานอากาศ หรือมีน้อยมากตัดทิ้งได้  นั่นคือเมื่อวัตถุตกลงอย่างอิสระ จึงประมาณได้ว่าความเร่งเท่าเป็นจริงเมื่อความต้านทานอากาศน้อยมากเมื่อเทียบกับวัตถุที่กำลังตก  ตัวอย่างเช่น กระสุนปืนใหญ่ 10 กิโลกรัม และก้อนหิน 1 กิโลกรัมปล่อยให้ตกลงมาที่ระดับตำแหน่งหนึ่งที่เวลาเดียวกัน จะตกถึงพื้นพร้อมกันโดยประมาณ  การทดลองนี้กล่าวกันว่าทำการทดลองโดยกาลิเลโอ จากหอเอียงเมืองปิซา ล้มล้างแนวคิดของอริสโตเติลที่คิดให้วัตถุที่หนักกว่า 10 เท่า ควรจะตกได้เร็วกว่าวัตถุที่เบากว่า 10 เท่า  เพราะพิจารณาเฉพาะน้ำหนักที่มากกว่าเท่านั้น
       การทดลองของกาลิเลโอและคนอื่นๆ ก็ให้ผลยืนยันเหมือนกัน  แต่กาลิเลโอไม่ได้บอกว่าทำไม่ความเร่งจึงเท่ากัน แต่กฏข้อที่สองของนิวตันบอกให้เราพิจารณามวลของวัตถุด้วย  ซึ่งคิดได้ว่า เพิ่มแรงที่ทำเป็น 10 เท่าที่กระทำต่อวัตถุมวลมากขึ้น 10 เท่า ก่อให้เกิดความเร่งเดียวกัน กันกับ แรงหนึ่งในสิบเท่ากระทำกับมวลหนึ่งในสิบ
                               F/M  =  f/m
F แทนแรงที่กระทำต่อลูกกระสุนปืนใหญ่ M แทนมวลกระสุนปืนใหญ่  f, m แทนน้ำหนักและมวลของก้อนหิน จะเห็นว่าสัดส่วนน้ำหนักต่อมวล เท่ากันสำหรับกรณีนี้ และสำหรับวัตถุใดๆ การตกอย่างอิสระของวัตถุภายใต้ความเร่งเดียวกันในสถานที่หรือตำแหน่งเดียวกัน ความเร่งอันเนื่องจากความโน้มถ่วงแทนด้วย สัญลักษณ์ g
      เราสามารถแสดงผลอย่างเดียวกันโดยค่าของจำนวน น้ำหนักก้อนหิน 1 kb คือ 9.8 N ที่ผิวโลก น้ำหนัก 10 kg ของสาร เช่นลูกกระสุนปืนใหญ่คือ 98 N  แรงที่กระทำต่อวัตถุที่กำลังตกคือแรงเนื่องจากความโน้มถ่วง หรือน้ำหนักของวัตถุนั้น ความเร่งของก้อนหินคือ
       a = f/m  =  น้ำหนัก/มวล   =  9.8N/1kg  = 9.8 kg.m/s^2/1kg = 9.8 m/s^2 = g
สำหรับของลูกกระสุนปืนใหญ่
       a = F/M  =  น้ำหนัก/มวล   =  98N/10kg  = 98 kg.m/s^2/10kg = 9.8 m/s^2 = g
 

รูปที่ 4.14  สัดส่วนน้ำหนัก (F) ต่อมวล m  เหมือนกันสำหรับกระสุนปืนใหญ่ 10 kg และก้อนหิน 1 kg

คำถาม
1. ถ้าคุณอยู่บนดวงจันทร์และปล่อยฆ้อนและขนนกจากระดับเดียวกันที่เวลาเดียวกันแล้วจะตกถึงพื้นผิวดวงจันด้วยกันหรือพร้อมกันหรือไม่

4.8 การตกของวัตถุและแรงต้านทาน
ขนนกและเหรียญที่ตกลงมาด้วยความเร่งเท่ากันในหลอดศูนยากาศ แต่ไม่เท่ากันเมื่อมีอากาศอยู่ เมื่อปล่อยให้อากาศเข้าไปในหลอดศูนยากาศ และจัดให้ตกลงมาในหลอดอีกครั้งเหรียญจะตกลงมาอย่างรวดเร็วส่วนขนนกค่อยๆตกลงมา ความต้านทานอากาศทำให้แรงลัพธ์น้อยลง วัตถุเล็กหรือเหรียญ และใหญ่กว่าสำหรับขนนก การเคลื่อนที่ลงสำหรับขนนกนั้นความต้านทานอากาศต้านการเคลื่อนที่ หากแรงต้านทานอากาศที่กระทำต่อขนนกเท่ากับน้ำหนักขนนก แรงลัพธ์ที่กระทำต่อขนนกเป็นศูนย์และไม่เกิดความเร่งอีกต่อไป ขนนกจะเคลื่อนที่มาถึงอัตราเร็วปลาย  หรือความเร็วปลายหากคิดทิศทางการตก
     แรงต้านทานอากาศที่มีต่อเหรียญมีผลไม่มากที่อัตราเร็วไม่มากแรงต้านทานอากาศมีน้อยเทียบกับน้ำหนักของเหรียญ ความเร่งของเหรียญก็ลดลงเพียงเล็กน้อยเมื่อเทียบกับการตกอย่างอิสระ เช่นกันถ้าให้เคลื่อนที่ลงมาเรื่อยๆ ความเร็วก็จะเพิ่มช้าลงและก็เข้าสู่อัตราเร็วปลายเช่นกัน ที่เมื่อความต้านทานอากาศเพิ่มขึ้นเท่ากับน้ำหนักของเหรียญ
     ตัวอย่างอัตราเร็วปลายจากการกระโดดร่มว่ายอากาศก่อนกางร่ม นักกระโดดร่มอาจับมือกันหลายคนเพื่อให้เกิดแรงต้านอากาศเมื่อถึงอัตราเร็วปลายที่แรงต้านอากาศเท่ากับน้ำหนักของคน คนทั้งกลุ่มก็จะตกลงมาด้วยอัตราเร็วปลายนั้นก่อนที่จะกางร่ม  อัตราเร็วปลายการว่ายอากาศในการกระโดดร่มของคนประมาณ 150 -200km/h ขึ้นอยู่กับน้ำหนักและจุดที่ตก คนที่หนักกว่าจะมีความเร็วปลายมากกว่าคนที่เบากว่า คนที่หนักกว่าถ้ากางแขน ขาออกก็จะได้ความเร็วปลายที่ใกล้เคียงกับคนที่เบากว่า และเมื่อร่มกางแล้วอัตราเร็วปลายก็ถูกทำให้ลดลงเหลือ 15 - 25 km/h ที่ยอมรับได้

คำถาม
ถ้าคนที่หนัก และคนที่เบา กระโดดร่มด้วยกันจากระดับสูงเดียวกันแต่ละคนสวมชุดกระโดดร่มเดียวกัน ใครจะตกพื้นดินก่อนกัน

ถ้าเราถือลูกเทนนิสและลูกเบสบอลแล้วปล่อยลงพร้อมกัน จะเห็นว่าตกถึงพื้นในเวลาเดียวกัน แต่เมื่อปล่อยจากตึกสูงจะเห็นว่าลูกเบสบอลที่หนักกว่าถึงพื้นก่อน ทั้งนี้เพราะเกิดแรงเสียดทานมากขึ้นกับวัตถุที่หนักที่อัตราเร้วมาก  สำหรับที่อัตราเร็วต่ำความต้านทานอากาศอาจน้อยไม่นำมาคิด  สำหรับที่อัตราเร็วสูงจะเห็นได้ถึงความแตกต่าง

คำถาม
ถ้าแรงต้านอากาศเท่ากันสำหรับการตกของลูกเทนนิสและลูกเบสบอล แล้วการตกของอะไรมีความเร่งมากกว่า