บทที่ 6 เวคเตอร์

6.1 ปริมาณ เวคเตอร์และสเกลล่า
เมื่อไรก็ตามที่ใช้ความยาวของลูกศรแทนขนาดของปริมาณ และทิศทางตามหัวลูกศรแทนทิศทางของปริมาณนั้น ลูกศรนี้เรียกว่า เวคเตอร์
     ปริมาณบางปริมาณต้องการทั้งขนาดและทิศทางเพื่อให้อธิบายได้สมบูรณ์ เรียกว่าปริมาณเวคเตอร์  ตัวอย่างเช่นแรงหนึ่งๆ มีทั้งทิศทางและขนาด เช่นเดียวกับความเร็ว แรงและความเร็วจึงเป็นปริมาณเวคเตอร์ที่คุ้นเคยกันมากที่สุด แต่ยังมีปริมาณอื่นๆ จะกล่าวถึงในบทต่อไป

6.2 เวคเตอร์แทนแรง
ผู้ชายผลักด้วยแรง 100N และม้าดึงด้วยแรง 200 N เนื่องจากทั้งสองแรงอยู่ในทิศเดียวกัน ได้ผลลัพธ์เป็นแรงดึงเท่ากับผลร่วมขงอแรงผลักดึงในทิศเดียวกัน ถ้ารถบรรทุกของนี้เคลื่อนไปได้ราวกับว่าทั้งสองแรงแทนได้ด้วยแรงลัพธ์แรงเดียว
     ต่อมาถ้าม้าผลักไปด้านหลังด้วยแรง 200 N ขณะที่ผู้ชายดึงด้วยแรง 100  N ตามรูป 6.1 ทางขวา แรงทั้งสองกระทำในทิศทางตรงกันข้าม แรงลัพธ์เท่ากับ 200 -100 = 100 N  ไปในทิศที่แรงมีค่ามากกว่า

  รูปที่ 6.1 แรงลัพธ์จากสองแรงขึ้นอยู่กับทิศทางของแรงและขนาดของแรงด้วย 


การรวมเวคเตอร์
พิจารณาแรงที่ใช้ลากเรือบรรทุกวัสดุโดยม้าดังรูป 6.3 ทางซ้าย  เมื่อเว็คเตอร์ทำมุมกันและกัน ในเทคนิคทางเรขาคณิตในการรวมเวคเตอร์เพื่อหาขนาดและทิศทางของแรงลัพธ์หรือเว็คเตอร์ลัพธ์
   เวคเตอร์ 2 เวคเตอร์ที่นำมาบวกกัน โดยวาดปลายทั้งสองของเวคเตอร์แตะทำมุมกันดังรูปที่6.3  โดยลากเส้นประจากหัวลูกศรเวคเตอร์ของแต่ละเวคเตอร์โดยลากให้ขนานกับเว็คเตอร์เดิมแต่ละเว็คเตอร์ เป็นการฉายเวคเตอร์ไป จะเกิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน(parallelogram) เพราะว่าด้านตรงข้ามกันขนานกันและมีความยาวเท่ากัน ผลลัพธ์ของสองแรงรวมกันคือเส้นทะแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปที่ 6.3 เรือเคลื่อนที่ไปภายใต้การกระทำของแรงเลัพธ์ของแรงสองแรง F1 และ F2 ทิศทางของแรงลัพธ์อยู่ในแนวทะแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่  โดยแรง F1 และ F2 ประกอบเป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

จะเห็นว่าเรื่องไม่ได้เคลื่อนไปตามทิศทางของแรงแต่ละแรงที่ทำโดยม้า แต่ไปในทิศทางของแรงลัพธ์ แรงลัพธ์นั้นหาได้โดยใช้กฏของการบวกเวคเตอร์คือ

   ผลรวมของสองเวคเตอร์อาจแทนด้วยเส้นทะแยงของสี่เหลี่ยมด้านขนานโดยใช้สองเวคเตอร์เป็นด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้

   เราสามารถประยุกต์กฏนี้กับคู่อื่นๆ ของแรงที่กระทำที่จุดร่วมเดียวกัน รูป  6.4 แสดงแรง 3 N ไปทางทิศเหนือและแรง 4 N ไปทางตะวันออก ใช้มาตราส่วน 1 N : 1ซม. เราสามารถสร้างสี่เหลี่ยมดานขนานโดยใช้เว็คเตอร์ทั้งสองเป็นด้านของสี่เหลี่ยม เป็นสี่เหลี่ยมพื้นผ้า ถ้าลากเส้นทะแยงมุมจากปลายหรือหางของเวคเตอร์ทั้งคู่ ก็จะได้แรงลัพธ์ แล้ววัดหาความยาวของเส้นทะแยงของสี่เหลี่ยม

รูปที่ 6.4 แรง 3 N และ 4 N บวกกันได้แรงลัพธ์ 5 N

แบบฝึกหัด

1. โดยวิธีการรวมแรงหาแรงลัพธ์โดยใช้สี่เหลี่ยมด้านขนาน  จากแรง 3N และ 4N แทนโดยเวคเตอร์ดังในรูปข้างล่าง วาดด้วยมาตราส่วน 1 cm: 1N ให้วัดแรงลัพธ์ด้วยไม้บรรทัด

2. ค่าแรงลัพธ์ต่ำสุดและสูงสุดที่เป็นไปได้มีค่าเท่าใดสำหรับแรง 3N และ 4 N กระทำต่อวัตถุเดียวกัน

               

     อีกตัวอย่างพิจารณาเครื่องบินเล็กบินไปทางเหนือด้วยความเร็ว 80 km/h ผ่านข้ามบริเวณที่มีลมพัดไปทางตะวันออกด้วยความเร็ว 60 km/h ตามรูป 6.5 แสดงเว็คเตอร์ของความเร็วเครื่องบินและความเร็วลม  ถ้ากำหนด 1cm: 20km/h แรงลัพธ์ในแนวทะแยงของสี่เหลี่ยม วัดได้ 5 cm ซึ่งแทนความเร็ว 100 km/h ในทิศตะวันออกเฉียงเหนือ
      การที่เวคเตอร์ทำมุมตั้งฉากกัน สามารถหาแรงลัพธ์โดยใช้ทฤษฎีบททางเรขคณิตของปิทากอรัส (pythagorean theorem) กล่าวว่า กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับ ผลบวกของกำลังสองของอีกสองด้านประกอบมุมฉาก จะสังเกตเห็นว่ามี 2 สามเหลี่ยมมุมฉากในสีเหลี่ยมด้านขนาน (ในกรณีนี้เป็นสีเหลี่ยมพื้นผ้า) ตามรูป  6,5 จากแต่ละด้านของสามเหลี่ยมเหล่านี้จะได้

      (เวคเตอร์ลัพธ์)^2  =  (60 km/h)^2 = (80 km/h)^2
                                    =  3600 (km/h)^2 + 6400 (km/h)^2
                                    =   10000 (km/h)^2
    รากทีสองหรือถอดรูท ของ 10000 (km/h)^2 คือ 100 km/h ตามคาดไว้
     

รูปที่ 6.5 เครื่องบินเล็กลำหนึ่งบินด้วยความเร็ว 80 km/h ข้ามความเร็วลม 60 km/h มีอัตราเร็วลัพธ์เป็น 100 km/h เทียบกับพื้นดิน
       

     ในกรณีเฉพาะที่เป็นเวคเตอร์เท่ากันและตั้งฉากกัน สี่เหลี่ยมด้านขนานจะกลายเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นทะแยง  สำหรับสี่เหลี่ยมจตุรัสความยาวในแนวทะแยงหรือแรงลัพธ์เป็น  2^1/2  หรือ 1.414 คูณด้วยความยาวด้านหนึ่งของเว็คเตอร์เสมอ  เช่นแรงลัพธ์ของเว็คเตอร์ ที่เขนาด 100 N เท่ากัน กระทำตั้งฉากกัน จะได้แรงลัพธ์ ลัพธ์เท่ากับ 1.414 คูณ 100  เท่ากับ 141.4 N


6.5 สมดุล (Equlibrium)
เพื่อจะให้เข้าใจพิจารณาสถานะการณ์ตามรูป

รูปที่ 6.7 แขวนตัวเองด้วยลวดราวตากผ้าที่แขวนในแนวดิ่งได้ปลอดภัยกว่า  ลวดตากผ้าอาจขาดได้หากให้รับน้ำหนักตัวที่ลวดแขวนตามแนวนอนหรือแนวระดับ

รูปที่ 6.8 ทางซ้ายบล็อกน้ำหนัก 10 N แขวนตามแนวดิ่ง กับตาชั่งสปริงหนึ่งอัน ตาชั่งดึงขึ้นด้วยแรง 10 N  ทางขวามี เมื่อแขวนสองตาชั่งสปริงดึงขึ้นด้านบน แต่ละตาชั่งสปริงด้วยแรงครึ่งหนึ่งของน้ำหนักหรือ 5 N
      จากรูปจะเห็นว่าแรงดึงขึ้นของแต่ละตาชั่งสปริงเท่ากับครึ่งหนึ่งของน้ำหนักบล็อก ตาชั่งสปริงทั้งสองออกแรงดึงแรงลัพธ์รวมเท่ากับน้ำหนักของบล็อก ตามรูปผังแสดงใฟ้เห็นว่าคู่ของเวคเตอร์ 5 N มีแรงลัพธ์เป็น 10 N ตรงข้ามกับเวคเตอร์ 10 N  แรงลัพธ์ที่กระทำต่อบล็อกเป็นศูนย์ และบล็อกอยู่นิ่งไม่เคลื่อนที่ กล่าวว่าอยู่ในภาวะสมดุล (equilibium)  แนวคิดหลักก็คือถ้า บล็อกหนัก 10 N แขวนอยู่ได้อย่างสมดุล ผลลัพธ์จากแรงที่ดึงโดยสปริงทั้งคู่เทากับ 10 N

รูปที่ 6.9 ถ้ามุมระหว่างตาชั่งสปริงเพิ่มขึ้น การอ่านค่าน้ำหนักที่สปริงก็เพิ่มขึ้นด้วย ดังนั้นแรงลัพธ์ คือ ยังเวคเตอร์เส้นประ ยังคงมีค่า 10 N ทิศขึ้นด้านบน ที่ใช้ยึดน้ำหนักบล็อก

      จากรูปนี้ เมื่อมุมจากแนวดิ่งเพิ่มขึ้นเป็น  75.5 องศา แต่ละสปริงออกแรงดึงเท่ากับ 20 N เพื่อก่อให้เกิดแรงลัพธ์ 10 N  ตามที่มุมระหว่างตาชั่งสปริงเพิ่มขึ้น ค่าแรงกที่อ่านได้จากตาชั่งสปริงก็เพิ่มขึ้น กล่าวได้วามุมระหว่างด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาดเพิ่มขึ้นขนาดของด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานก็เพิ่มมากขึ้น ถ้าต้องการให้ด้านทะแยงยังคงเท่าเดิม ถ้าเข้าใจเรื่องนี้ก็จะเข้าใจว่า ทำไมลวดที่ขึงในแนวนอนไม่สามารถรับน้ำหนักตัวคนได้ ทั้งนี้เพราะแรงดึงในเส้นลวดที่่ขึงมีมากกว่าตัวคนที่อาจทำให้ขาดได้

คำถาม

จากรูปข้างบน ภาพทั้งสองหนักเท่ากันแขวนไว้ดังแสดง การแขวนแบบใด การใช้เส้นเชือกช่วยแขวนรูปแบบใดที่ขาดง่ายกว่า

ถ้าด็กเล่นแกว่งชิงช้าสองคนน้ำหนักเท่ากัน การแก่วงชิช้าแบบใดเชื่อกขาดง่ายกว่า

6.6 องค์ประกอบของเวคเตอร์
เมื่อมี 2 เวคเตอร์กระทำบนวัตถุเดียวกันอาจแทนด้วยเวคเตอร์ลัพธ์จาก 2 เวคเคอร์ เหลือเพียงเวคเตอร์เดียวที่มีผลเหมือนกันกับวัตถุ  และในทางกลับกันสามารถทำได้ ที่คิดให้เวคเตอร์หนึ่งอาจจัดให้เป็นเวคเตอร์ลัพธ์ของ 2 เวคเตอร์ แต่ละเวคเตอร์กระทำต่อวัตถุในบางทิศทาง  สองเวคเตอร์นี้คือองค์ประกอบของเวคเตอร์ที่กำหนด  กระบวนการทีในการหาองค์ประกอบของเวคเตอร์หนึ่งเรียกว่าการแตกเวคเตอร์ (resolution) ถ้าเวคเตอร์คือแรงจะเรียกว่าการแตกแรง

รูป 6.10  ผู้ชายออกแรง F เข็นผลักรถตัดหญ้า สามารถแยกออกเป็นองค์ประกอบของ แรง X และ Y
     เวคเตอร์ F เป็นแรงที่ผู้ชายออกแรง แยกออกเป็นองค์ประกอบของแรง Y ในแนวดิ่งกดลงไปบนพื้น เวคเตอร์ X เป็นองค์ประกอบของแรงในแนวระนาบ เป็นแรงไปข้างหน้าเคลื่อนเครื่องตัดหญ้า

รูปที่ 6.11 เวคเตอร์ V มีองค์ประกอบเวคเตอร์ X และ Y
 
     เราสามารถหาขนาดองค์ประกอบของเวคเตอร์ โดยการวาดสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้ F เป็นเส้นทะแยงมุมของสี่เหลี่ยมผืนผ้า  X,Y เป็นด้านของสี่เหลี่ยมผืนผ้า  เวคเตอร์ลัพธ์ F เกิดจากการรวมเวคเตอร์ X, Y
    หลักที่ใช้ในการหาองค์ประกอบทางแนวดิ่งและแนวนอนค่อยข้างง่ายดังรูป 6.11   โดยให้เวคเตอร์ V อยู่ในทิศทางหนึ่งใช้แทนแรง หรือ เวคเตอร์ใดก็ตามที่อยู่ในประเด็นปัญหา แล้วลากเส้นตามแนวดิ่งและแนวนอน จากปลายเว็คเตอร์ V แล้วลากกรอบสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากหัวลูกศรเว็คเตอร์ V แล้วจะได้ว่าองค์ประกอบของเว็คเตอร์ V แทนด้วยทิศทางและขนาดของเว็คเตอร์ X และ Y

6.7 องค์ประกอบของน้ำหนัก
   

รูปที่ 6.12 น้ำหนักของลูกบอลล์แทนด้วยเว็คเตอร์ W  องค์ประกอบที่ตั้งฉากกัน A และ B 

จะเห็นว่าเฉพาะเมื่อสโลปหรือความชันเป็นศูนย์เมื่อพื้นผิวอยู่ในแนวระดับ องค์ประกอบ A เท่ากับศูนย์ เป็นเหตุผลที่อัตราเร็วลูกบอลไม่เปลี่ยนในแนวระดับ แล้ว B เท่ากับ W ลูกบอลล์กดไปที่พื้นผิวด้วยแรงทั้งหมด แต่เมื่อสโลป 90 องศา องค์ประกอบ B จะกลายเป็นศูนย์ และองค์ประกอบ A เท่ากับ W

คำถาม

ที่มมเท่าใดที่องค์ประกอบ A และ B ในรูป 6.12 มีขนาดเท่ากัน และที่มุมเท่าใดที่ A = W และที่มุมเท่าใด

สรุปบทที่ 6
ปริมาณเวคเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง
-เวคเตอร์หนึ่งๆแทนได้ด้วยลูกศรที่ความยาวแทนขนาดของเว็คเตอร์ ห้ัวลูกศรแทนทิศทางของปริมาณ

ผลรวมของแรงหลายแรงหรือผลรวมของความเร็วความเร็วหลายความเร็ว สามารถหาได้จากการใช้ผังไดอะแกรมเวคเตอร์ ที่วาดตามมาตราส่วน
     -เมื่อบางอย่างอยู่ในสมดุล ผลลัพธ์ของแรงทั้งหมดมีส่วนทำให้สมดุล

เวคเตอร์เดี่ยวใดๆ สมารถที่จะแทนได้ด้วย 2  องค์ประกอบเวคเตอร์  เมื่อบวกองค์ประกอบทั้งสองเข้าด้วยกันแล้วได้เวคเตอร์เดิม
     -บ่อยครั้งที่ทำให้ง่ายในการศึกษาองค์ประกอบในแนวระดับ และในแนวตั้งหรือดิ่ง ของแรง หรือ ความเร็ว
     -เมื่อความโน้มถ่วงเป็นเพียงแรงเดียวที่กระทำในการเคลื่อนที่แบบโปรเจคไตล์ องค์ประกอบตามแนวระดับหรือแนวนอนของความเร็วไม่มีการเปลี่ยนแปลง

คำถามทบทวน
1.ปริมาณเวคเตอร์หนึ่งต่างจาก ปริมาณสเกลล่าหนึ่ง อย่างไร
2.ถ้าเวคเตอร์หนึ่ง ใช้ความยาว 1 cm แทนแรง 5 N  จะมีแรงกี่นิวตันที่เวคเตอร์ ยาว 2 cm แทนได้
3. a. แรงลัพธ์เป็ฯเท่าใดจากคู่ของแรง 100 N ทิศขึ้นด้านบน และ  75 นิวตันทิศลงข้างล่าง
    b. แรงลัพธ์ของแรงทั้งสองในข้อ a. จะเป็นเท่าใดถ้าทั้งสองแรงดังกล่าวกระทำในทิศลงล่าง
4. ทำไมจึงจัดให้อัตราเร็วเป็นปริมาณสเกลล่า และจัดให้ความเร็วเป็นปริมาณเวคเตอร์
5. ความเร็วลัพธ์ของเครื่องบินลำหนึ่งเป็นเท่าใด ที่ปกติบินด้วยอัตราเร็ว 200 km/h  ถ้าบินสวนกับลมพัดไปด้านหลัง 50 km/h ? ลมพัดไปทางด้านหัวเครื่องบิน 50 km/h ?
6.สีเหลี่ยมด้านขนานคืออะไร?
7.เมื่อสร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานเพื่อใช้ในการรวมแรง อะไรที่ใช้แทนแรงลัพธ์?
8.ขนาดของเว็คเตอร์ลัพธ์จากการรวมเว็คเตอร์ขนาด 4 และ 3 ที่ตั้งฉากกัน เป็นเท่าใด?
9.ขนาดของเวคเตอร์ลัพธ์จากคู่ของเวค์เตอร์ 100 N ที่ทำมุมฉากกันและกัน เป็นเท่าใด?
10.ทำไมแรงตึงในลวดราวตากผ้า ที่ตากผ้าจากการซักตามแนวระดับ มากกว่าผ้าที่แขวนลวดตามแนวตั้ง(ดิ่ง)
11. แรงลัพธ์สุทธิหรือเทียบเท่าเป็นเท่าใด เมื่อแรงลัพธ์นั้นกระทำต่อวัตถุแลัวอยู่ในภาวะสมดุล
12. จงเปรียบเทียบกับน้ำหนักตัวของคุณ แรงดึงในแขนเป็นเท่าใด เมื่อปล่อยให้ตัวห้อยอยู่ได้โดยไม่เคลื่อนไหวด้วยแขนเดียว ?, โดยทั้งสองแขน?
13.ให้บอกความแตกต่างระหว่างวิธีการรวมเวคเตอร์ทางเรขาคณิตกับ วิธีการแยกเวคเตอร์
14.ขนาดขององค์ประกอบในแนวนอน และแนวดิ่งเป็นเท่าใด ของเวคเตอร์ที่มีความยาว 100 หน่วย ที่วางทำมุมกับแนวระดับ 45 องศา ?
15.น้ำหนักของลูกบอลล์ที่กลิ้งลงตามพื้นเอียงสามารถแยกออกเป็นเวคเตอร์ได้เป็นสององค์ประกอบ องค์ประกอบหนึ่งตามแนวขนานกับพื้นเอียง อีกองค์ประกอบตั้งฉากพื้นเอียง
   a. ที่มุมความชันพื้นเอียงเท่าใดที่ทำให้องค์ประกอบเวคเตอร์ของน้ำหนักลูกบอลเท่ากัน?
   b. ด้วยมุมความชันเท่าใด? ที่องค์ประกอบเวคเตอร์ตามแนวพื้นเอียงเท่ากับศูนย์
   c. ด้วยมุมความชันเท่าใด? ที่องค์ประกอบเวคเตอร์ตามแนวพื้นเอียงเท่ากับน้ำหนักของลูกบอลล์